極限

一般に，数列\(\{a_{n}\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，\(a_{n}\)がある一定の値\(\alpha\)に限りなく近づくことを，数列\(\{a_{n}\}\)は\(\alpha\)に収束するといい， \[ \class{mathkuu}{\underline{\lim_{n\to\infty} a_{n}=\alpha}}\qquad \text{または，}\qquad \class{mathkuu}{\underline{n\to\infty}} のとき\class{mathkuu}{\underline{a_{n}\to\alpha}} \] と表す。このとき，値\(\alpha\)を数列\(\{a_{n}\}\)の極限値という。また，数列\(\{a_{n}\}\)の極限は\(\alpha\)であるともいう。※記号\(\infty\)は，「無限大」と読み，数を表すものではない。

※\(\infty\)は数ではないから，極限が\(\pm \infty\)となるとき，極限はあるが，極限値はない。また，収束しないものを発散と呼ぶので，振動は発散に含まれる。

数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)が収束して，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\alpha\)，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_{n}=\beta\) のとき，(極限値が存在するとき)

1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} ka_{n}=\class{mathkuu}{\underline{k\alpha}}\)  ただし，\(k\)は定数   2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}\pm b_{n})=\class{mathkuu}{\underline{\alpha\pm \beta}}\) (1, 2は線形性)

3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}b_{n}=\class{mathkuu}{\underline{\alpha\beta}}\)，  \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}}=\class{mathkuu}{\underline{\frac{\alpha}{\beta}}}\)  ただし，\(b_n\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)，\(\beta\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)  (積・商も分配可)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\alpha\)，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_{n}=\beta\)のとき，

\[a_{n}\leqq b_{n}ならば，\quad \class{mathkuu}{\underline{\alpha\leqq\beta}}\]

\(a_{n}\leqq b_{n}\leqq c_{n}\)(または\(a_{n}< b_{n}< c_{n}\))が成り立ち，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_{n} =\alpha\)ならば，

\(a_{n}\leqq b_{n}\)かつ，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=\infty\)  ならば，

無限等比数列\(r^{n}\)の公比\(r\)について，

\(\class{mathkuu}{\underline{r>1}}\)のとき，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^{n}=\infty\)
\(\class{mathkuu}{\underline{r=1}}\)のとき，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^{n}=1\)
\(\class{mathkuu}{\underline{|r|<1}}\)のとき，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{n}=0\)
\(\class{mathkuu}{\underline{r\leqq -1}}\)のとき，数列\(r^{n}\)の極限はない \(\cdots\)振動する

無限等比級数 \(a+ar+ar^{2}+\cdots\cdots +ar^{n-1}+\cdots\cdots\)の収束，発散

1. \(a=0\)のとき，収束し，その和は0である。
2. \(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)のとき，\(\begin{aligned}[t] & \boldsymbol{\class{mathkuu}{\underline{|r|<1}}ならば，収束し，その和は\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{a}{1-r}}}である。} \\ & \boldsymbol{\class{mathkuu}{\underline{|r|\geqq 1}}ならば，発散する。} \end{aligned}\)

無限級数は，まず部分和(\(S_n\))を計算して，\(\lim\)をとるのが原則であり，無限級数に勝手にカッコをつけたりすることは禁物。例えば， \[ ①：1+(-1)+1+(-1)+1+\cdots \cdots \] では \(a_n=(-1)^{n-1}\) であるが, \[ ②：\{1+(-1)\}+\{1+(-1)\}+\cdots \cdots \]

とカッコをつけると \(a_n=1+(-1)\) と考えていること になり, 全く別物になってしまう。実際①では

であるから， \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} S_n\) は存在せず，この級数は発散する。 一方②では, つねに \(S_n=\class{mathkuu}{\underline{0}}\) で, \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=0\) と収束する。

無限級数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\)，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\)が収束して，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S\)，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}=T\)のとき，

\[{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (ka_{n}+lb_{n})=\class{mathkuu}{\underline{kS+lT}}} \qquad ただし，k,\ lは定数 \qquad (線形性)\]

1. 無限級数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\)が収束する \(\Longrightarrow\)\(\ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=0\)
2. 数列\(\{a_{n}\}\)が0に収束しない \(\Longrightarrow\) 無限級数\(\class{mathkuu}{\underline{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}}\)は発散する

・分母の最高次の項で割る！

ex). \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{6n^2+5}{3n^2-7n}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{6+\dfrac{5}{n^2}}{3-\dfrac{7}{n}}=\class{mathkuu}{\underline{2}}\)

・指数なら分母の最大底の項で割る！要は一番強い項で割る！

ex). \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{5^n-2^n}{5^n+2^n}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{5}\right) ^n}{1+\left(\dfrac{2}{5}\right) ^n}=\class{mathkuu}{\underline{1}}\)

・最高次の項でくくる！

ex). \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(3n^2-2n)=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\class{mathkuu}{\underline{n^2}}\left( 3-\dfrac{2}{n}\right) =\class{mathkuu}{\underline{\infty}}\)

・指数なら最大底の項でくくる！要は一番強い項でくくる！

ex). \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} (2^{n+1}-3^n)=\displaystyle\lim_{n\to \infty} \class{mathkuu}{\underline{3^n}}\{ 2\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right) ^n -1\}=\class{mathkuu}{\underline{-\infty}}\)

\(\sqrt{　}\)の入った不定形は，有理化してみる！

「無限等比数列\(ar^{n-1}\)が収束する」ときたら\(\cdots\cdots\)

\[\class{mathkuu}{\underline{(初項)\ a=0}}または\class{mathkuu}{\underline{-1< r\leqq 1}}\]

であり， \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} ar^{n}= \begin{cases} \class{mathkuu}{\underline{0}}&\left( a=0\ \ または\ -1<r<1\right)\\ \class{mathkuu}{\underline{a}}&\left( r=1\right) \end{cases}\)

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} |a_n|=0 ならば，\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0\] ※証明は，\(-|a_n|\leqq a_n \leqq |a_n|\)より，はさみうち。（あまり明記されないが上式は逆も成り立つ。）

求まらない極限は，不等式で評価してはさみうち！

→問題によっては不等式のヒントが与えられるが，与えられないものは自力で評価！

・\(\class{mathkuu}{\underline{-1}}\leqq \sin ●\leqq \class{mathkuu}{\underline{1}}\)，\(\class{mathkuu}{\underline{-1}}\leqq \cos ●\leqq \class{mathkuu}{\underline{1}}\)

・\((1+t)^n\)などの二項展開を途中でちょん切る（クリアー122番文中）

・\(2^n\)を\(0<2^n<3^n\)ではさむなど，底や指数の大小を考える。

・ガウス記号（関数の極限で登場）

・接線，円弧と弦など，図形的にはさむ。

・平均値の定理利用（微積で登場）

・面積評価（微積で登場）

（STEP 0 ：極限値を予想する。\(\alpha\)に収束すると仮定して方程式\(\alpha = f(\alpha)\)を解き簡略的に求める。または\(y=xとy=f(x)\)のグラフを描いて調べる。）←教科書p.37

STEP 1 ：\(\left|a_{n+1}-\alpha\right| \leqq k\left|a_n-\alpha\right| \)　　　　（\(\alpha は極限値，kは0から1の数\)）

（発展：平均値の定理利用）

STEP 2： \(0 \leqq\left|a_n-\alpha\right|\leqq k^{n-1}\left|a_1-\alpha\right|\)

→はさみうちへ。(クリアー124番)

例：奇数番目の数列，偶数番目の数列でそれぞれ規則性があるような問題では，部分和\(S_{2n-1}，S_{2n}\)をそれぞれ求めて，同じ値に収束するのであれば，混ざった数列の無限級数も収束。一致しなければ発散。

→クリアー126番

（初手または最後の手で場合分けをし，）\(\class{mathkuu}{\underline{n}}番目と\class{mathkuu}{\underline{n+1}}番目\)の推移図をかけ！

→漸化式立式して極限求める。

\(\class{mathkuu}{\underline{n}}番目と\class{mathkuu}{\underline{n+1}}番目\)の図形に注目せよ！→漸化式立式して極限求める。

一般に，関数\(f(x)\)において，変数\(x\)が \(a\)と異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づくとき，\(f(x)\)が一定の値\(\alpha\)に限りなく近づくことを，次のように表す。 \[ % \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\qquad \text{または，}\qquad x\to a\boldsymbol{のとき}\quad f(x)\to \alpha \]

このとき，値\(\alpha\)を，\(x\to a\)のときの\(f(x)\)の極限値または極限という。

また，このことを，\(x\to a\)のとき\(f(x)\)は\(\alpha\)に収束する，または\(f(x)\)の極限は\(\alpha\)であるという。

※有限の値に収束せず，正or負の無限大にも発散しないとき，関数の極限においては振動とは言わず，単に極限は存在しないという。

一般に，「\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\)が存在する」とは，「\(\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)\)，\(\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)\)の両方が存在して，それらが一致する」ことである。

\[\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha \ のとき，\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\class{mathkuu}{\underline{\alpha}}\]

また，

\[\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} \displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)\ のとき，\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)は，\class{mathkuu}{\underline{存在しない}}。\]

\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\)，\(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき，

1. \({\displaystyle\lim_{x\to a}kf(x)=\class{mathkuu}{\underline{k\alpha}}}\)  ただし，\(k\)は定数

2. \({\displaystyle\lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=\class{mathkuu}{\underline{\alpha+\beta}}}\)，  \({\displaystyle\lim_{x\to a}\{f(x)-g(x)\}=\class{mathkuu}{\underline{\alpha-\beta}}}\) (1，2：線形性)

3. \({\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\class{mathkuu}{\underline{\alpha\beta}}}\)， \({\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\alpha}{\beta}}}}\)  ただし，\(\beta\neq 0\)

\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\)，\(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)のとき，

1. \(x\)が\(a\)に近い十分小さな区間で常に\(f(x)\leqq g(x)\)ならば，\(\alpha \leqq \beta\)

注：\(f(x)< g(x)\)の場合でも，\(\alpha \leqq \beta\)

2. \(x\)が\(a\)に近い十分小さな区間で常に\(f(x)\leqq h(x)\leqq g(x)\)かつ\(\alpha = \beta\)ならば，

\[{\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\class{mathkuu}{\underline{\alpha}}} \qquad(はさみうちの原理)\]

注：2は，\(f(x)< h(x)< g(x)\)かつ\(\alpha = \beta\)でも成り立つ。

3. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty\)のとき， \( xがaに近い十分小さな区間で常にf(x)\leqq g(x)\ ならば， \)

\[\quad \displaystyle\lim_{x\to \infty}g(x)=\class{mathkuu}{\underline{\infty}} \quad (追い出しの原理)\]

※2. から一般に，次のことが成り立つ。\(\displaystyle\lim_{x\to a}|f(x)|=0 \Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\class{mathkuu}{\underline{0}}\)

※1,2,3は\(x\to aだけでなく，x\to \pm \infty\)なども成り立つ。

1  \(a>1\)のとき， \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}a^{x}=\class{mathkuu}{\underline{\infty}}\)，   \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^{x}=\class{mathkuu}{\underline{0}}\)
2 \(0<a<1\)のとき， \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}a^{x}=\class{mathkuu}{\underline{0}}\)， \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^{x}=\class{mathkuu}{\underline{\infty}}\)
3 \(a>1\)のとき， \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\log_{a}x=\class{mathkuu}{\underline{\infty}}\)， \(\displaystyle\lim_{x\to \class{mathkuu}{\underline{+0}}}\log_{a}x=-\infty\)
4 \(0<a<1\)のとき， \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\log_{a}x=\class{mathkuu}{\underline{-\infty}}\)， \(\displaystyle\lim_{x\to \class{mathkuu}{\underline{+0}}}\log_{a}x=\infty\)

\[\displaystyle\lim_{x\to \class{mathkuu}{\underline{0}}}\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\sin{x}}{x}}}=\class{mathkuu}{\underline{1}}\]

※証明は中心角の十分小さな扇形の面積評価ではさみうち利用。（弧度法のときのみ成立）

※図形的には，\(\dfrac{\sin{x}}{x}=\dfrac{\sin{x}-\sin{0}}{x-0}\)より，\(y=\sin x のグラフの原点付近の接線を表す。\)

\[関数f(x)がx=aで連続である\iff \class{mathkuu}{\underline{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}}が成り立つ\]

定義域内のすべての\(x\)で連続である関数を，連続関数という。したがって，\(y=\dfrac{1}{x}やy=\tan x\)はすべての実数\(x\)で連続ではないが，連続関数という扱いになるので注意。

\(k,\ l\)は定数とする。関数の極限値の性質より，\(関数f(x)，g(x)がx=aで連続であるならば\) \[1.\ kf(x)+lg(x)\qquad 2.\ f(x)g(x)\qquad 3.\ \dfrac{f(x)}{g(x)}\quad (g(x)\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0)\quad も連続である。\]

\[\class{mathkuu}{\underline{閉}}区間で\class{mathkuu}{\underline{連続}}な関数は，その区間で\class{mathkuu}{\underline{最大値}}および\class{mathkuu}{\underline{最小値}}をもつ。\]

※開区間で連続な関数は，その区間で最大値や最小値をもつとは限らない。

関数\(f(x)\)が閉区間\([a,\ b]\)で連続であるとき，\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して，

\[ \class{mathkuu}{\underline{f(c)=k}},\quad \class{mathkuu}{\underline{a\leqq c\leqq b}} \]

となる実数\(c\)が（少なくとも一つ）存在する。



※後出の平均値の定理と混同しがちだが，難しく考えないように。簡単に言えば，下図で2点A, Bを結ぼうと思ったら必ず中間にある\(y=k\)と交わらざるを得ないということ。

関数\(f(x)\)が閉区間\([a,\ b]\)で連続で，\(f(a)\cdot f(b)<0\)が成り立つとき，

\[ 方程式\class{mathkuu}{\underline{f(x)=0}}の解が\class{mathkuu}{\underline{a<x<b}}の範囲に少なくとも一つ存在する。 \]



※\(f(a)\cdot f(b)<0\)とはすなわち，\(f(a)とf(b)\)が異符号。

\(x\to -\infty のとき，特に\sqrt{　}の極限などは・・・すぐに\class{mathkuu}{\underline{t\to +\infty}}\)に直す！

平均変化率\(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)や，\(f(b) - f(a)\)のような形を含む極限ときたら・・・

\(\Longrightarrow\)微分係数の定義利用忘れがち！（微分法で習う平均値の定理も引き出しに。）

※一般的に逆は成り立たない。

※要するに，「有限の値に収束する可能性があるとすれば\(\dfrac{0}{0}\)不定形しかない」という定理。

※同様の考え方で，「\(\infty -\infty\)不定形にするしかない」といった問題も。（クリアー例題22）

以下に頻出の4つに3つを加えた，計7つの不定形をまとめておく。これらが不定形であることを認識しておくと安心。※⑤は\(e\)の定義のところで登場する。

\[①\ \infty - \infty ，　②\ \dfrac{\infty}{\infty}，　③\ \infty \times 0，　④\ \dfrac{0}{0}\] \[⑤\ 1^\infty ，　⑥\ \infty ^0，　⑦\ 0^0\]

\(x\to \infty\)のとき，下図において，右の関数ほど発散するスピードが速い。

\[\class{mathkuu}{\underline{\log_a x}} \quad <\quad \class{mathkuu}{\underline{x^r}} \quad <\quad \class{mathkuu}{\underline{a^x}}\quad <\quad x!\quad <\quad x^x\]

少なくとも，（対数）\(<\)（累乗）\(<\)（指数）のイメージはグラフも想像しながら認識しておこう！例として，不定形だが0に収束することがよく用いられるものを3つ挙げる。

\[例：　\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}=0，　\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0，　\lim_{x\to +0}x\log x=0\ （\because 前の式でxを\dfrac{1}{x}に）\]

「ガウス記号絡みの求まらない極限」ときたら\(\cdots\cdots\)下の不等式ではさめ！ \[\hspace{8mm} \class{mathkuu}{\underline{●-1<[●]\leqq ●}}\ \cdots\cdots ①\]

\(|x|が十分小さい時，\) \[\sin x \fallingdotseq \class{mathkuu}{\underline{x}} \fallingdotseq \tan x\] ※\(y=\sin x，y=\tan x\)のグラフは，\(x=0\)付近で\(y=x\)のグラフとほとんど同じになる。

※ゆえに，\(\displaystyle\lim_{x\to \class{mathkuu}{\underline{0}}}\dfrac{\tan{x}}{x}=\class{mathkuu}{\underline{1}}\)も成り立つ。

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1\)，もしくは半角の公式から\(\cos\)に関する以下の公式が導かれる。 \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1-\cos{x}}{x^2}}}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2}}}\] ※分母分子に\((1+\cos{x})\)をかけて有理化のようなことをすればすぐに示せる。