1A 第1章

1. 数と式

展開と因数分解

Point 1A 1.1.1　展開の公式まとめ(数\(\rm I\hspace{-.01em}I\)を含む)

\[\begin{aligned} (a+b)^2&=\class{mathkuu}{\underline{a^2+2 a b+b^2}}\\ (a-b)^2&=\class{mathkuu}{\underline{a^2-2 a b+b^2}}\\ (a+b)(a-b)&=\class{mathkuu}{\underline{a^2-b^2}}\qquad\qquad (和と差の積は2乗の差)\\ (x + a)(x + b) &= \class{mathkuu}{\underline{x^2 + (a + b)x + ab}}\\ (ax + b)(cx + d) &= \class{mathkuu}{\underline{acx^2 + (ad + bc)x + bd}}\\ (a+b+c)^2&=\class{mathkuu}{\underline{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}}\\ (a+b)^3&=\class{mathkuu}{\underline{a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3}}\\ (a-b)^3&=\class{mathkuu}{\underline{a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3}}\\ (a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)&=\class{mathkuu}{\underline{a^3+b^3}}\\ (a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)&=\class{mathkuu}{\underline{a^3-b^3}}\\ \end{aligned}\]

Point 1A 1.1.2　因数分解の公式まとめ(数\(\rm I\hspace{-.01em}I\)を含む)

\[\begin{aligned} a^2+2 a b+b^2&=\class{mathkuu}{\underline{(a+b)^2}}\\ a^2-2 a b+b^2&=\class{mathkuu}{\underline{(a-b)^2}}\\ a^2-b^2&=\class{mathkuu}{\underline{(a+b)(a-b)}}\qquad (和と差の積は2乗の差)\\ x^2+(a+b) x+ab&=\class{mathkuu}{\underline{(x+a)(x+b)}}\\ acx^2 + (ad + bc)x + bd&=\class{mathkuu}{\underline{(ax + b)(cx + d)}}\quad (たすき掛け) \\ a^3+b^3&=\class{mathkuu}{\underline{(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)}}\\ a^3-b^3&=\class{mathkuu}{\underline{(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)}}\\ 【発展】　　　x^3+y^3+z^3-3xyz&=\class{mathkuu}{\underline{(x+y+z)(\color{blue}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx})}}\\ \color{blue}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2} \left \{ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right \}}}\\ \end{aligned}\]

Point 1A 1.1.3　因数分解の手順

STEP.1 共通因数でくくる
STEP.2 似た形は置き換える
STEP.3 最低次数の文字で整理するor登場回数の少ない文字
ex.)
\[x^2+xy+x+2y-2=\class{mathkuu}{\underline{(x+2)(x-1)+y(x+2)}}=\class{mathkuu}{\underline{(x+2)(x+y-1)}}\]（\(y\)の次数が最低・登場回数も最少）
他にも、2乗の差が作れないかなど確認する。（複2次式）
ex.)
\[x^4+x^2+1=\class{mathkuu}{\underline{(x^2+1)^2-x^2}}=\class{mathkuu}{\underline{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}}\]

式の特徴に応じた式変形を〜対称式と相反式〜

Point 1A 1.2.1　対称式

\(x,yの式で、xとyを入れかえても同じ式になるものを対称式という。\)対称式ときたら・・・

基本対称式\(x+y, xy\)で表せ！

ex.)
\[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,\quad x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) \:\mathrm{or} =(x+y)^3-3xy(x+y)\]
※3変数\(x, y, z\)の場合は、基本対称式\(x+y+z, xy+yz+zx, xyz\)で表す！

Point 1A 1.2.2　相反式は\(x+\frac{1}{x}\)をカタマリで扱う！

相反式ときたら・・・\(x+\dfrac{1}{x}\)のカタマリで表せ！↓ 例 \[x^2+\dfrac{1}{x^2}=\class{mathkuu}{\underline{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2}}-\class{mathkuu}{\underline{2}},\ x^3+\dfrac{1}{x^3}=\class{mathkuu}{\underline{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^3}}-\class{mathkuu}{\underline{3\cdot \bcancel{x}\cdot \bcancel{\dfrac{1}{x}}\left( x+\dfrac{1}{x}\right)}}\]

また、\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-{\frac{1}{2}}}\)や\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-{\frac{1}{2}}}\)は、2乗すると、\(x+\dfrac{1}{x}+2\)や\(x+\dfrac{1}{x}-2\)となるのもよく使う。

数の分類

Point 1A 1.3.1　数の分類

※無理数のことを「有理数でない実数」と認識するのは正しいが，「循環しない無限小数」とも認識できているだろうか。なぜなら，循環小数は必ず\(\dfrac{整数}{整数}\)の形（＝有理数）に直せるからである。

例）\(x=0.\dot{4}\dot{5}\dot{6}=0.456456456\cdots\)（3桁周期）のとき， \[1000x=456.456456\cdots,\quad 1000x-x=456\ \therefore\ 999x=456\ \therefore\ x=\dfrac{456}{999}\] このように，周期の長さだけ10倍して元の\(x\)との差を取れば循環部分が消え，\(x=\dfrac{整数}{整数}\)の形になる。

Point 1A 1.3.2　【重要】数学では，○○で割ってはいけない！

\[ある数を\class{mathkuu}{\underline{0}}で割ることはできない！\] これは，数学を学んでいく上でとても大事かつ，よく出くわすので，常に頭に入れておこう。

ex.) \(a,b,x\)が実数のとき，\(ax=b\)を\(x\)について解け。→ 解：\(x=\dfrac{b}{a}\)→×！

正しくは，「\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)のとき，両辺\(a\)で割って，\(x=\dfrac{b}{a}\)．また，\(a=0\)のとき，\(x\)はすべての実数値をとる。（不定）」

ただややこしいことに問題文が「一次方程式\(ax=b\)」だった場合は，\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)の記載がもしなくても，\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)であることが読み取れるので，「一次方程式であるから\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)より，\(x=\dfrac{b}{a}\)」と書けば良い。（大抵は問題文に\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)と書いてくれる。）

絶対値と平方根

Point 1A 1.4.1　\(\sqrt{(怖い)^2}=\left|怖い\right|\)

\[\begin{aligned} \sqrt{A^2}&=\class{mathkuu}{\underline{\left|A\right|}}\\ &=\begin{cases} \class{mathkuu}{\underline{A}} &(A\geqq 0)\\ \class{mathkuu}{\underline{-A}} &(A<0) \end{cases} \end{aligned}\]

Point 1A 1.4.2　平方根の計算

\(a>0,\ b>0\) のとき， \[\sqrt{a} \sqrt{b} = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{ab}}}，\quad\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{\dfrac{a}{b}}}}\]

よって，次のことがいえる。

Point 1A 1.4.3

\[k > 0,\ a > 0のとき，\sqrt{k^2 a} = \sqrt{k^2}\sqrt{a}=\left|k\right|\sqrt{a}=\class{mathkuu}{\underline{k\sqrt{a}}}\]

Point 1A 1.4.4　絶対値を含む方程式・不等式

絶対値は中身が0で場合分け \[\begin{aligned} \left|A\right| &=\begin{cases} \class{mathkuu}{\underline{A}} &(A\geqq 0)\\ \class{mathkuu}{\underline{-A}} &(A<0) \end{cases} \end{aligned}\]
\(C\)が定数のときのみ、以下のように方程式や不等式の解を求めることができる。

\(\cdot \left|x\right|=c\ (c\geqq 0)\)の解は\(x=\pm c\)
\(\cdot \left|x\right|<c\ (c>0)\)の解は\(-c<x<c\)
\(\cdot \left|x\right|>c\ (c\geqq 0)\)の解は\(x<-c,c<x\)

2重根号の外し方

Point 1A 1.5.1　2重根号の外し方

\(a>0,b>0\)のとき、\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\class{mathkuu}{\underline{　\sqrt{a}+\sqrt{b}　}}\]

\(a>b>0\)のとき、\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\class{mathkuu}{\underline{　\sqrt{a}-\sqrt{b}　}}\]

※\(\sqrt{a}\)は、「2乗すると\(a\)になる正の数」であるから、\(\sqrt{b}-\sqrt{a}\)は間違い。

つまり\(b>a>0\)のときは、\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\class{mathkuu}{\underline{　\sqrt{b}-\sqrt{a}　}}\)