2. 集合と命題

• ① \(a \in A\) …… \(a\) は集合 \(A\) の要素である。 \(a \notin A\) …… \(a\) は集合 \(A\) の要素でない。
• ② \(A \subset B\) …… \(A\) は \(B\) の部分集合。
  【重要】「\(x \in A\) ならば \(x \in B\)」が成り立つ。
• ③ \(A = B\) …… \(A\) と \(B\) の要素は完全に一致。 「\(A \subset B\) かつ \(B \subset A\)」が成り立つ。

例：1から9までの奇数全体の集合を \(A\) とすると，\(A\) には次の①〜③のような表し方がある．

1. \(A = \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}\) （要素の列挙）
2. \(A = \{x \mid 1 \leqq x \leqq 9,\ x \text{ は奇数}\}\) （要素の代表，\(x\) の満たす条件）
3. \(A = \{2n - 1 \mid 1 \leqq n \leqq 5,\ n \text{ は整数}\}\) （要素の代表，\(n\) の満たす条件）

1. 空集合\(\varnothing\)：要素を1つももたない集合．任意の集合 \(A\) について \(\varnothing \class{mathkuu}{\underline{\subset}} A\) と約束する．
2. 共通部分（積集合）\(A \cap B\) ：\(A\) と \(B\) のどちらにも属する要素全体の集合．
3. 和集合\(A \cup B\)：\(A\) と \(B\) の少なくとも一方に属する要素全体の集合．
4. 3つの集合の共通部分，和集合
   共通部分 \(A \cap B \cap C\)：\(A,\ B,\ C\) のどれにも属する要素全体の集合．
   和集合 \(A \cup B \cup C\)：\(A,\ B,\ C\) の少なくとも1つに属する要素全体の集合．
5. 補集合 \(\overline{A}\)：全体集合 \(U\) の要素で，\(A\) に属さない要素全体の集合．

3つの集合 \(A,\ B,\ C\) について，次のことが成り立つ．

• ① 結合法則：\((A \cap B) \cap C = A \cap \class{mathkuu}{\underline{(B \cap C)}}\)   \((A \cup B) \cup C = A \cup \class{mathkuu}{\underline{(B \cup C)}}\)
• ② 分配法則：\((A \cap B) \cup C = \class{mathkuu}{\underline{(A \cup C) \cap (B \cup C)}}\), \((A \cup B) \cap C = \class{mathkuu}{\underline{(A \cap C) \cup (B \cap C)}}\)

① が成り立つから，\(A \cap B \cap C\) の要素を求めるのに \((A \cap B) \cap C\) と考えても \(A \cap (B \cap C)\) と考えてもよい（\(A \cup B \cup C\) についても同様）．また，② が成り立つことはベン図を用いて確かめられる．

\[\overline{A\cup B}=\class{mathkuu}{\underline{\overline{A}\cap\overline{B}}},　\overline{A\cap B}=\class{mathkuu}{\underline{\overline{A}\cup\overline{B}}}\]

集合 \(A\) の要素の個数を \(n(A)\) で表す。\(2つの集合A,\ Bについて，全体集合をUとすると，\)

1. \(n(A \cup B) = \class{mathkuu}{\underline{n(A)}} + \class{mathkuu}{\underline{n(B)}} - \class{mathkuu}{\underline{n(A \cap B)}}\)
2. \(A \cap B = \varnothing\) のとき，  \(n(A \cup B) = \class{mathkuu}{\underline{n(A)}} + \class{mathkuu}{\underline{n(B)}}\)
3. \(n(\overline{A}) = \class{mathkuu}{\underline{n(U)}} - \class{mathkuu}{\underline{n(A)}}\)

命題・・・正しいか正しくないか（真偽）がはっきりする事柄を述べた文や式のこと。

以下，2つの条件\(p,\ q\)について，

1. 命題 \( p \Rightarrow q \)（\( p \) ならば \( q \)）　\( p \) が仮定，\( q \) が結論。
2. \( p \Leftrightarrow q \) は「\( p \Rightarrow q \) かつ \( \class{mathkuu}{\underline{q \Rightarrow p}} \)」を表す。
3. \( p \) は満たすが \( q \) は満たさない例（反例という）があると，\( p \Rightarrow q \) は偽。

「任意の\(x\)について\(p\)である。」の否定は、「ある\(x\)についてpである。」

「ある\(x\)についてpである。」の否定は、「任意の\(x\)について\(p\)である。」

命題 \(p \Rightarrow q\) が真であるとき，



\(p \Rightarrow q\) と \(q \Rightarrow p\) がともに真，すなわち \(p \Leftrightarrow q\) が真であるとき，



また，このとき，\(p\) と \(q\) は互いに 同値 であるともいう。

ある命題 \(X\) に対し，\(X\) が成り立たないと仮定して，矛盾を導くことにより，\(X\) が成り立つことを示す証明法を 背理法 という。

集合の問題では・・・ベン図を書く！

要素が無数にありすべてを書き出せないときなど，次のことを利用して証明することも考えよう。

整数 \( n \) は，例えば次のように場合分けして表すことができる（\( k \) は整数）。

1. \( 2k,\ 2k+1 \hspace{1em} \)（偶数、奇数 ← 2 で割った余りが 0，1）
2. \( 3k,\ 3k+1,\ 3k+2 \hspace{1em} \)（3 で割った余りが 0，1，2）
3. \( pk,\ pk+1,\ pk+2,\ \ldots,\ pk+(p-1) \hspace{1em} \)（\( p \) で割った余りが 0，1，2，…，\( p-1 \)）

①も②も③も，それぞれのいずれかの場合分けの中にすべての整数が余すことなく入っている！

もちろん ① は\(2k,\ 2k-1\)，② は\(3k,\ 3k\pm1\)などでも良い！様々な形で表せる。

詳しくは数学Aの整数の分野で学習する。

「でない」，「少なくとも1つ」の証明ときたら・・・背理法を疑え！

直接がだめなら間接で！また，無理数は，有理数「でない」数であるから・・・

① そのまま\(r\: (rは有理数)\)とおく。
② 正の有理数 →\(\dfrac{q}{p}\: (\ p,\: q は\class{mathkuu}{\underline{互いに素}}な\class{mathkuu}{\underline{自然数}})\)とおく。
③ 負を含む一般の有理数 →\(\dfrac{q}{p}\: (\ p,\: q は互いに素な整数, \: p\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0)\)とおく。
(より厳しく置くのであれば片方は自然数にする。(どのみち分母は0でないから，\(p\)がおすすめ))

命題 \(p \Rightarrow q\) を示すとき，背理法では「\(p\) は真だが \(q\) は偽である」と仮定し，そこから矛盾を導く。この矛盾は，結論（\(q\) でないこと）そのものと矛盾する形で現れる必要はなく，仮定（\(p\) であること）と矛盾する形で現れても構わない。実は，仮定 \(p\) の方に矛盾が生じたケースは，裏を返せば「\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)」，つまり対偶が真であることを示したことと同じになる。

こう見ると，背理法と対偶法はかなり近い関係にあるように思えるが，実際には性質の異なる証明法である。

対偶法による証明 は，はじめから「\(\overline{p}\) を示せばよい」という最終ゴールが決まっている，いわばゴール地点が最初から明確な証明法である。

一方，背理法 は「\(p\) かつ \(\overline{q}\)」と仮定して話を進めていく中でどこかに矛盾が現れればそれでよいという証明法であり，どんな形の矛盾に行き着くかは証明を始める時点では分からない。