Pointnote
1A 第3章

3. 2次関数

高校数学の全体像(2次関数)

2次関数の全体像

高校数学の全体像のように，「○○関数」というのは高校数学の中で大きなウエイトを占めるテーマであり，1次関数については既習である。そして，「○○関数」と名の付く分野では・・・ \[\boldsymbol{①\class{mathkuu}{\underline{グラフ}}②\class{mathkuu}{\underline{ 方程式・不等式}}③\class{mathkuu}{\underline{最大・最小}}が3大テーマ！}\] この「3つの目次」を意識しながらマスターしていこう！

主な基本事項

Point 1A 3.2.1　2次関数・放物線
\(x\) の2次式で表される関数を \(x\) の2次関数といい，一般に次の式で表される。 \[ \class{mathkuu}{\underline{y = ax^2 + bx + c}} \qquad (a, b, c \text{ は定数},\ \class{mathkuu}{\underline{a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0}}) \] また，そのグラフは放物線で，\(y = ax^2 + bx + c\) を放物線の方程式という。
Point 1A 3.2.2　2次関数の表し方まとめ
2次関数の表し方は大きく3通り！
① 一般形： \(y=ax^2+bx+c\)
② 平方完成： \(y=a(x-p)^2+q\)　→\(\underline{軸と頂点が絡むとき}有効\ (軸(x=\class{mathkuu}{\underline{p}}),\:頂点\class{mathkuu}{\underline{(p,\ q)}})\)
③ 因数分解： \(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)　→\(\underline{x軸との共有点が絡むとき}有効\)
\((接するときは\:\alpha=\beta\: なので、y=a(x-\alpha)^2)\)
Point 1A 3.2.3　2次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) のグラフ
\(y = ax^2\) のグラフを平行移動した放物線で
  1. 軸は 直線 \(x = -\dfrac{b}{2a}\)，頂点は 点 \(\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} \right)\)
  2. \(a > 0\) のとき 下に凸，\(a < 0\) のとき 上に凸
Point 1A 3.2.4　2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解法  （\(a, b, c\) は実数，\(a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)）
  • ① 因数分解を利用   \(ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)\)，\(p,\ r\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0のとき，\)
    \(ax^2 + bx + c = 0\) の解は \(x = \class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{q}{p}}},\ \class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{s}{r}}}\)
  • ② 平方根の考えを利用  \((x - p)^2 = q\ (q > 0) \quad \text{の解は} \quad x = \class{mathkuu}{\underline{p \pm \sqrt{q}}}\)
  • ③ 2次方程式の解の公式を利用   \(ax^2 + bx + c = 0\) の解は，\(b^2 - 4ac \geqq 0\) のとき \[ x = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}} \] 特に，\(b = 2b'\) ならば \[ x = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{-b' \pm \sqrt{{b'}^2 - ac}}{a}}} \]
Point 1A 3.2.5　判別式
2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の判別式を \(D = b^2 - 4ac\) とすると，方程式の解について次のことが成り立つ。 \[\begin{aligned} D > 0 &\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{異なる2つの実数解}}\text{をもつ} \\ D = 0 &\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{ただ1つの実数解（重解）}}\text{をもつ} \\ D < 0 &\Longleftrightarrow \text{実数解を}\class{mathkuu}{\underline{もたない}} \end{aligned}\]
  • よって，\(D \geqq 0 \Longleftrightarrow\) 実数解をもつ
  • \(\hspace{4em} D < 0 \Longleftrightarrow\) 実数解をもたない
Point 1A 3.2.6　【重要】方程式の解とグラフの共有点の\(x\)座標の関係
2次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) のグラフと \(x\) 軸の共有点の \(x\) 座標は，2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の実数解である。したがって，次のことがいえる。(詳しくは，point 3.4.3) \[方程式f(x)=0の解 \iff グラフ y=\class{mathkuu}{\underline{f(x)}} とy=\class{mathkuu}{\underline{0}} \ (\class{mathkuu}{\underline{x}}軸)の共有点のx座標\]
Point 1A 3.2.7　判別式と共有点の個数
上のことから，2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の判別式を \(D = b^2 - 4ac\) とすると，\(y=ax^2 + bx + c\)のグラフと\(x\)軸\((直線y=0)\)の共有点の個数は次の通り： \[\begin{aligned} D > 0 &\Longleftrightarrow \text{共有点}\class{mathkuu}{\underline{2}}\text{個} \\ D = 0 &\Longleftrightarrow \text{共有点}\class{mathkuu}{\underline{1}}\text{個} \\ D < 0 &\Longleftrightarrow \text{共有点}\class{mathkuu}{\underline{0}}\text{個} \end{aligned}\]
  • よって，\(D \geqq 0 \Longleftrightarrow\) 共有点を\(\class{mathkuu}{\underline{もつ}}\)（2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\)が，実数解をもつ）
  • \(\ \hspace{3.3em}D < 0 \Longleftrightarrow\) 共有点を\(\class{mathkuu}{\underline{もたない}}\)（2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\)が，実数解をもたない）

平行移動・対称移動総まとめ

Point 1A 3.3.1　点の平行移動・対称移動
・移動：点 \((a, b)\) を \(x\) 軸方向に \(p\)，\(y\) 軸方向に \(q\) だけ移動した点の座標は\((\class{mathkuu}{\underline{a + p}},\ \class{mathkuu}{\underline{b + q}})\)

・対称移動：点 \((a, b)\) を
\(x\) 軸に関して対称移動すると　点 \((\class{mathkuu}{\underline{a}},\ \class{mathkuu}{\underline{-b}})\) に移る。
\(y\) 軸に関して対称移動すると　点 \((\class{mathkuu}{\underline{-a}},\ \class{mathkuu}{\underline{b}})\) に移る。
原点に関して対称移動すると　点 \((\class{mathkuu}{\underline{-a}},\ \class{mathkuu}{\underline{-b}})\) に移る。
Point 1A 3.3.2　曲線の平行移動
曲線\(y=f(x) をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動ときたら\cdots\)

→\(xを\class{mathkuu}{\underline{x-p}}に、yを\class{mathkuu}{\underline{y-q}}におきかえる！\)
すなわち，移動後の曲線の方程式は\(\class{mathkuu}{\underline{y-q}}=\class{mathkuu}{\underline{f(x-p)}}\: \left(\text{or,} \ \ y=\class{mathkuu}{\underline{f(x-p)+q}}\right)\)
Point 1A 3.3.3　曲線の対称移動
    曲線\(y=f(x) \)を、
  1. \(x軸に関して対称移動ときたら\cdots \class{mathkuu}{\underline{y}}を\class{mathkuu}{\underline{-y}}におきかえる。\)
    \(すなわち，\class{mathkuu}{\underline{-y=f(x)\: (y=-f(x))}}\)
  2. \(y軸に関して対称移動ときたら\cdots \class{mathkuu}{\underline{x}}を\class{mathkuu}{\underline{-x}}におきかえる。\)
    \(すなわち，\class{mathkuu}{\underline{y=f(-x)}}\)
  3. \(原点に関して対称移動ときたら\cdots \class{mathkuu}{\underline{xを-xに、yを-y}}におきかえる。\)
    \(すなわち，\class{mathkuu}{\underline{-y=f(-x)\: (y=-f(-x))}}\)

その他方針立ての重要ポイント

Point 1A 3.4.1
3点通過ときたら・・・一般形(\(y = ax^2 + bx + c\))で立式せよ！
Point 1A 3.4.2
絶対値(\(y=|f(x)|\))のグラフは\(\cdots\) \(y=f(x)\)のグラフの負の部分を折り返す
Point 1A 3.4.3　【発展】定数分離について
定数分離は、方程式の解の個数（配置問題とも。詳しくはポイント3.5.1以降のトレーニングで扱う）を考えるうえでの一つの頻出手法！ \[方程式f(x)=0の解 \iff グラフ y=\class{mathkuu}{\underline{f(x)}} とy=\class{mathkuu}{\underline{0}} \ (\class{mathkuu}{\underline{x}}軸)の共有点のx座標\] これと同様に、下式が成り立つことを利用する。 \[方程式f(x)=kの解 \iff グラフ y=\class{mathkuu}{\underline{f(x)}} とy=\class{mathkuu}{\underline{k}} の共有点\] ポイントは、移項して定数\(k\)を分離するなどし，比べやすいグラフで比べること

①：曲線は固定して直線を動かす②：種類の異なる関数は分類（応用）

→ 1. 定数分離
2. 直線分離
Point 1A 3.4.4　【重要】記述でよくある間違い
「判別式」は，2次「方程式」に対する言葉であり，2次「関数」の「判別式」のような言い方はしない。下のような記述をしないよう気をつけよう。他も含めて，よくある間違いを下に記載するので，よく読んでおこう。
× 2次関数\(y=ax^2+bx+c\)の解が・・・

←\(y=ax^2+bx+c\)は\(x\)についての2次「関数」。「解」というのは，「方程式」を満たす変数\((xなど)\)の値であり，「方程式」のワード。\(x,y\)についての方程式と見て，放物線の方程式とも言うが，この手のミスはおそらくその話をしたくて，ではない。
× 2次関数\(y=ax^2+bx+c\)の判別式Dが・・・

←「関数」の判別式，ではない。\((2次関数)=0\)などの「方程式の解」を「判別」するのが判別式。
× 2次方程式\(y=ax^2+bx+c\)の判別式Dが・・・←\(y=ax^2+bx+c\)は2次「関数」。
× 放物線\(ax^2+bx+c=0\)の頂点は・・・←\(ax^2+bx+c-0\)は2次方程式であり，頂点などの話ではない。\(y=(左辺)\)のグラフが，放物線である。。
Point 1A 3.4.5　【コラム】放物線が \(x\) 軸から切り取る線分の長さ
\(D = b^2 - 4ac > 0\) のとき，放物線 \(y = ax^2 + bx + c\) が \(x\) 軸から切り取る線分の長さを \(l\) とする。

2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の2解\(\dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a},\ \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)をそれぞれ \(\alpha,\ \beta\) とすると，
i) \(a > 0\) のとき，

\(l = \class{mathkuu}{\underline{\beta}} - \class{mathkuu}{\underline{\alpha}} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} - \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{\sqrt{D}}{a}\)

ii) \(a < 0\) のとき，

\(l = \class{mathkuu}{\underline{\alpha}}-\class{mathkuu}{\underline{\beta}} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} - \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = -\dfrac{\sqrt{D}}{a}\)

したがって，一般に \[ l = \class{mathkuu}{\underline{\left|\alpha - \beta\right|}}=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|} \]

特に，\(|a| = 1\) のときは \(l = \sqrt{D}\) となる。

(結果は覚えなくてよい)
setsudan_bunseki

【必見】2次方程式解の個数(解の配置)問題の必要十分トレーニング！

この節では，入試数学における方程式のド定番問題である，解の個数問題（解の配置問題という人もいるが個人的にわかりにくくこう呼んでいる）についてまとめる。

具体的には，「定数\(a\)の値の範囲によって，\(x\)についての方程式の解の個数を調べよ」や「○○の範囲に実数解を持つような定数\(a\)の範囲を求めよ」(解の存在範囲)などの問題である。三角関数の分野でも，三角関数を\(t\)などで置き換えたあと，\(t\)についての2次方程式になり・・・などはテッパン。学生時代の自分であるが，このあたりいまいち問題の位置付けがよくわからないまま適当に判別式，軸，端点を調べているという人も多いであろう。

今みなさんの立ち位置は，関数の3大テーマ①グラフ，②方程式・不等式，③最大・最小の中の，②の方程式であることを意識しておこう！それでは，まずは，原則から。
Point 1A 3.5.1　解の個数問題ときたら・・・
解の個数問題ときたら・・・（樹形図）
Point 1A 3.5.2　注意
「方程式\(ax^2+bx+c=0\)が〜」という問題文のとき，焦っていきなり判別式軸端点に入らないように！「判別式」は2次方程式のワードであるから，\(a=0\)かどうかで場合分けが必要。上に凸か下に凸かも必要であれば，\(a>0,\ a<0\)でも場合分けする。
Point 1A 3.5.3
次のことを用いて端点のみで済むパターンがあるので知っておこう。 \[「\class{mathkuu}{\underline{f(p)f(q)}}<0\ (つまり，f(p)とf(q)が異符号)ならx=pとx=qの間に解あり！」\] ※詳しくは数学Ⅲで習う。中間値の定理という。


次に，少し抽象度の高いトレーニングをしていく。次の全10パターンがすべてできれば，あとはその組み合わせで2次方程式の解の個数問題はほぼすべて解決！例1〜3がすべてできれば怖いものなし！模試などでも超頻出ですから，ぜひマスターしよう。
Ⅲ) 特に2次方程式なら\(\cdots\)


先述の樹形図の中で，この部分についての練習をする。ただし，図にもあるが，まずは因数分解できないか確認することはとても大事である。定数\(a\)などを含んでいると気がつきにくいが，少なくとも1解が確定するので一気に簡単になる。 \[例：x^2+(a+1)x+a=0 \iff (\class{mathkuu}{\underline{x+a}})(\class{mathkuu}{\underline{x+1}})=0なら，解は-aと-1と分かってしまう。\] \[3次方程式なら，1解確定すれば2次方程式に次数を下げられる。\]
注意：与えられた範囲の不等式の端を含むか含まないか(等号あるかないか)は丁寧に考えること。

　　　判別式は，放物線の頂点の\(y\)座標でもみれるが，本質的に同じことである。


【例1】2次方程式\(f(x)=ax^2+bx+c=0\) \(\color{red}{(a>0)}\) が次のような解をもつための必要十分条件を，次の3つを用いて表せ． \[\begin{aligned} \text{(i)}\quad & \text{判別式：} \ D \\ \text{(ii)}\quad & \text{軸：} \ x=l \\ \text{(iii)}\quad & 端点：f(t) \end{aligned}\]


  1. \(f(x)=0\)は実数解をもたない．
      \(\boxed{D<0}\)
  2. \(f(x)=0\)は実数解をもつ．
      \(\boxed{D\geqq 0}\)
  3. \(f(x)=0\)は\(t\leqq x\) となる実数解をもつ．
    • ア) \(f(t)\leqq 0\)
    • イ) \(f(t)>0\) かつ \(t\leqq l\) かつ \(D\geqq 0\)
    したがって，\(\boxed{f(t)\leqq 0\ \text{または}\ (t\leqq l\ \text{かつ}\ D\geqq 0)}\)
  4. \(f(x)=0\)は\(t\leqq x\) となる実数解はもたない．
    これを否定すればよいので，\(\boxed{f(t)>0\ \text{かつ}\ (t> l\ \text{または}\ D<0)}\)
  5. \(f(x)=0\)は\(t< x\) となる実数解をもつ．
    • ア) \(f(t)<0\)
    • イ) \(f(t)\geqq 0\ \text{かつ}\ t<l\ \text{かつ}\ D\geqq 0\)
    したがって，\(\boxed{f(t)<0\ \text{または}\ (t<l\ \text{かつ}\ D\geqq 0)}\)
  1. \(f(x)=0\)は\(t< x\) となる実数解はもたない． これを否定すればよいので，\(\boxed{f(t)\geqq 0\ \text{かつ}\ (t\geqq l\ \text{または}\ D<0)}\)
  2. \(f(x)=0\)は\(t\leqq x\) の範囲に実数解を1つもつ．
    • ア) \(f(t)<0\)
    • イ) \(f(t)=0\ \text{かつ}\ l\leqq t\)
    • ウ) \(f(t)>0\ \text{かつ}\ t\leqq l\ \text{かつ}\ D=0\)
    したがって，\(\boxed{f(t)<0\ \text{または}\ (f(t)=0\ \text{かつ}\ l\leqq t)\ \text{または}\ (f(t)>0\ \text{かつ}\ t\leqq l\ \text{かつ}\ D=0)}\)
  3. \(f(x)=0\)は\(t<x\) の範囲に実数解を1つもつ．
    • ア) \(f(t)<0\)
    • イ) \(f(t)=0\ \text{かつ}\ t<l\)
    • ウ) \(f(t)>0\ \text{かつ}\ t<l\ \text{かつ}\ D=0\)
    したがって，\(\boxed{f(t)<0\ \text{または}\ (f(t)=0\ \text{かつ}\ t<l)\ \text{または}\ (f(t)>0\ \text{かつ}\ t<l\ \text{かつ}\ D=0)}\)
  4. \(f(x)=0\)は\(t\leqq x\) の範囲に異なる2つの実数解をもつ．
      \(\boxed{f(t)\geqq 0\ \text{かつ}\ t\leqq l\ \text{かつ}\ D>0}\)
  5. \(f(x)=0\)は\(t<x\) の範囲に異なる2つの実数解をもつ．
      \(\boxed{f(t)>0\ \text{かつ}\ t<l\ \text{かつ}\ D>0}\)


    ※実際はア),イ)などは具体的な範囲であることがほとんどなので，難しければ答えをまとめられていなくてもよい。必要十分を過不足なく書ければOK！


次はこれら \(①\)～\(⑩\) を組み合わせて考える。端点だけで済むようなものもあるのでやってみよう。
【例2】2次方程式\(f(x)=ax^2+bx+c=0\) \(\color{red}{(a>0)}\) が次のような解をもつための必要十分条件を，次の3つを用いて表せ． \[\begin{aligned} \text{(i)}\quad & \text{判別式：} \ D \\ \text{(ii)}\quad & \text{軸：} \ x=l \\ \text{(iii)}\quad & 端点：f(t) \end{aligned}\]


【問題】
  1. 正の実数解，負の実数解を1つずつもつ．
  2. \(x < -2\)，\(3 < x\) に1解ずつもつ．
  3. \(x < -4\)，\(x \geqq 2\) に1解ずつもつ．
  4. \(-2\leqq x \leqq 2\)に相異なる2つの実数解をもつ．
  5. \(-3\leqq x < 4\) に相異なる2つの実数解をもつ．
  6. \(-2 < x < 0\)，\(0 < x < 3\) に1つずつ実数解をもつ．
  7. \(0 < x < 1\)，\(4 < x < 6\) に1解ずつもつ．
  8. 少なくとも1つ正の実数解をもつ．
  9. \(1 < x < 5\) に少なくとも1解もつ．


【解答】
  1. \(f(0) < 0\)
  2. \(f(-2) < 0,\ f(3) < 0\)
  3. \[ f(-4) < 0,\quad f(2) \leqq 0 \]
  4. \(f(-2) \geqq 0,\ f(2) \geqq 0,\ -2 \leqq l \leqq 2,\ D > 0\)
  5. \[ \left\{ \begin{array}{l} f(-3) \geqq 0,\ f(4) > 0 \\ -3 \leqq l < 4 \\ D > 0 \end{array} \right. \]
  6. \[ f(-2) > 0,\quad f(0) < 0,\quad f(3) > 0 \]
  7. \[ f(0) > 0,\quad f(1) < 0,\quad f(4) < 0,\quad f(6) > 0 \]
  8. \(f(0) < 0\) または， 「\(f(0) = 0,\ l > 0\)」または 「\(f(0) > 0,\ l > 0,\ D \geqq 0\)」
  9. \(f(1)\cdot f(5) < 0\)

    または，「\(f(1) = 0\), \(f(5) > 0\), \(1<l<5\)」

    または，「\(f(5) = 0\), \(f(1) > 0\), \(1 < l< 5\)」

    または，「\(f(1)>0, f(5)>0, 1<l< 5, D\geqq 0\)」
【例3】方程式\(f(x)=ax^2+bx+c=0\)が次のような解をもつための必要十分条件を，次の3つを用いて表せ． \[\begin{aligned} \text{(i)}\quad & \text{判別式：} \ D \\ \text{(ii)}\quad & \text{軸：} \ x=l \\ \text{(iii)}\quad & 端点：f(t) \end{aligned}\]


【問題】
  1. \(a > 0\) のとき，\(x > 3\) の範囲に重解を含めて 2 個の解がある．
  2. \(a > 0\) のとき，\(x \leqq -4\) に 1 つの解，\(5 < x\) に別の 1 つの解がある．
  3. 実数解がちょうど 1 個ある．
  4. \(a < 0\) のとき，\(x < -5\) の範囲に重解を含めて 2 個の解がある．


【解答】
  1. \((x^2の係数)> 0\) に注意して、 \[ f(3) > 0 \quad \text{かつ} \quad l> 3 \quad \text{かつ} \quad D \geqq 0 \]
  2. \((x^2の係数)> 0\) に注意して、 \[ f(-4) \leqq 0 \quad \text{かつ} \quad f(5) < 0 \]
  3. まずは\(x^2\)の係数で場合分け。

    • ア) \(a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\) のとき：重解をもつことが条件で、 \[ D = 0 \]
    • イ) \(a = 0\) のとき：与えられた方程式は1次以下で、 \[ bx + c = 0 \] このとき，\(b \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\) ならば \(x = -\dfrac{c}{b}\) というただ1つの実数解をもつ。 \(b = 0\) のときは \(c = 0\) となり，\(x\) は1つに定まらず不適。


    したがって，求める条件は， \[ 「a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0 \ \text{かつ} \ D = 0」\ \text{または}\ 「a = 0 \ \text{かつ} \ b \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0」 \]
  4. \((x^2の係数)< 0\) に注意して、 \[ \left\{ \begin{array}{l} f(-5) < 0 \\ l < -5 \\ D \geqq 0 \end{array} \right. \]