三角関数

三角関数ときたら・・・

三角関数の式処理は，ほぼすべてこの2つ「相互関係」と「加法定理」から始まる。





※2倍角・半角・3倍角・合成の公式は，すべてこの加法定理から導かれる（詳しくは後述）。

【直角三角形】において，（左下の図）

【一般角】の場合、

1. 単位円上において，（真ん中の図）
   
   \(\sin\) ：点Pの\(\class{mathkuu}{\underline{y}}\)座標,　\(\cos\) ：点Pの\(\class{mathkuu}{\underline{x}}\)座標,
   
   \(\tan \)：動径OPの傾きor直線\(\class{mathkuu}{\underline{x=1}}\)と動径OPの交点の\(\class{mathkuu}{\underline{y}}\)座標
2. 半径\(r\)の円上の点P(\(x\),\(y\))とするとき，（右下の図）
   
   \(\sin \theta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{y}{r}}},　\cos \theta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{x}{r}}},　\tan \theta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{y}{x}}}\)

半径1，弧の長さが1の扇形の中心角が1ラジアン。すなわちその相似形である，半径\(r\)，弧の長さが\(r\)の扇形の中心角は1ラジアン(以下，rad)。

→ 単位円の円周の長さは\(2\pi\)であるから，その中心角\(360^{\circ} =\class{mathkuu}{\underline{2\pi}}\)[rad]\(\ \ \therefore 180^{\circ}=\class{mathkuu}{\underline{\pi}}\) [rad]

例題3つ：

1. \(60^{\circ}\) は、\(\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\pi}{3}}}\)[rad]
   
2. \(\dfrac{\pi}{3}\)[rad]は、\(\class{mathkuu}{\underline{60^{\circ}}}\)
   
3. \(\dfrac{1}{3}\) [rad]は、\(\class{mathkuu}{\underline{\left(\dfrac{60}{\pi}\right) ^{\circ}}}\) ※特にこのパターンもできるように。

\(角\alpha\) の動径OPの表す一般角\(\theta は\)

\[\theta = \alpha + \class{mathkuu}{\underline{2n\pi}} \quad (nは整数)\]

※これらの式は、問題文に書かれていなくても常に成り立っている隠れた条件であることに注意
※③は②の両辺を\(\cos^2\theta\)で割ったものなのですぐに導けるように
※③の式は，\(\tan^2\theta\)と\(\cos^2\theta\)は交換可能であると日本語で認識しておこう！
※\(\tan \theta\)は、\(\theta=\)\(\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)(\(n\)は整数)で定義されない (\(\because \cos \theta=0, \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\))

\(y=\tan \theta\)のグラフは，次の直線を漸近線にもつ。\(n\)を整数として， \[直線\ \theta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\pi}{2}+n\pi}}\]

以下の関数のグラフは，関数\(y=f(x)\)のグラフを，

1. \(y-q=f(x-p)\)：\(x軸方向に\class{mathkuu}{\underline{p}}，y軸方向に\class{mathkuu}{\underline{q}}だけ\class{mathkuu}{\underline{平行}}移動\)
2. \(-y=f(x)\: (y=-f(x))\)： \(x\)軸に関して対称移動
3. \(y=f(-x)：\ \)\(y\)軸に関して対称移動
4. \((y=-f(-x))：\ \)原点に関して対称移動

したグラフである。

また，関数\(y=f(x)\)が以下の条件を満たすとき，グラフは次の対称性をもつ。





したがって、 \(y=\sin \theta ,\ \ y=\tan \theta\)は奇関数、\(y=\cos \theta \)は偶関数 である。

（※\(x\)軸対称は，陰関数表示で\(f(x,-y)=f(x,y)\)とすれば表せるが今はわかりやすさ重視で割愛）

\(y=\sin \theta ,\ \ y=\cos \theta\)は、\(2\pi\)を周期とする周期関数であり、
\(y=\tan \theta\)は、\(\pi\)を周期とする周期関数である。 ※周期と言えば、正の周期のうち最小のものを意味するのが通例。

1. \[y=●\sin\theta \hspace{28mm}：\class{mathkuu}{\underline{y}}軸方向に\class{mathkuu}{\underline{●倍}}(\class{mathkuu}{\underline{振幅}}|●|倍)\]
2. \[y=\sin(\theta+●) \hspace{22mm}：\class{mathkuu}{\underline{\theta}}軸方向に\class{mathkuu}{\underline{-●}}だけ平行移動(\boldsymbol{位相がずれる})\]
3. \[y=\sin ●\theta \hspace{28.4mm}：\class{mathkuu}{\underline{\theta}} 軸方向に\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{●}倍}}(\class{mathkuu}{\underline{周期}}\dfrac{1}{|●|}倍)\]
4. \[y=\sin \theta +●\hspace{22mm}：\class{mathkuu}{\underline{y}}軸方向に\class{mathkuu}{\underline{●}}だけ平行移動\]
5. 複合形\(y=●\sin(▲\theta+○)+△\) ：このパターン要注意。必ずまず\(\sin ▲\left( \theta +\dfrac{○}{▲}\right)\)と変形

\[関数f(x)について，xがc増えるごとに周期性がある：すべてのxで\ \underline{f(x+c)=f(x)}\ が成り立つ。\]

• STEP 1：\(\theta\)の範囲check!!
• STEP 2：位相部分の範囲check!!
• STEP 3：\(\sin\) 　 ，\(\cos\) 　 ，\(\tan\) 　 \( \gtreqqless \) 　 などの形に変形し，単位円描いて求める！

三角関数ときたら・・・

\[\class{mathkuu}{\underline{似た形}}はおきかえる，文字おきかえたら\class{mathkuu}{\underline{範囲check!!}}\]

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\class{mathkuu}{\underline{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}},\\ %\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\class{mathkuu}{\underline{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}},\\ %\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}}} %\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{aligned} \] ※\(\tan\)の分母は\(\cos\)由来だからプラマイ入れ替わる

\[ \begin{aligned} \sin2\alpha&=\class{mathkuu}{\underline{2\sin\alpha\cos\alpha}}\\ %\begin{align*} \cos2\alpha&=\class{mathkuu}{\underline{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}} \quad &・・・①\\ 　 &=\class{mathkuu}{\underline{2\cos^{2}\alpha-1}} &・・・②\\ 　 &=\class{mathkuu}{\underline{1-2\sin^{2}\alpha}} &・・・③\\ %\begin{align*} \tan2\alpha&=\class{mathkuu}{\underline{\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}}\\ %\begin{align*} \cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}}\\ \tan^{2}\dfrac{\alpha}{2}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}} \end{aligned} \] ※\(\tan\)は\(\tan^{2}\dfrac{\alpha}{2}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}}{\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}}}}\)から導出すればよい

「半分の角度を」2倍にできる式。
最大のメリットは、「2乗を解消できること」（角度が2倍になることが代償）
半角の公式はcosの2倍角の②と③のことなので覚えなくてもよい。

半角の公式のメリットは、角度が2倍になることを代償に「2乗を解消できること」

例：\(f(x)=2\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+4\cos ^{2} x\)の最大値・最小値

→ \[f(x)=2\cdot \dfrac{1-\cos 2x}{2}+\sin 2x+4\cdot \dfrac{1+\cos 2x}{2}\] \[=\sin 2x+\cos 2x+3\] \[=\sqrt{2}\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)+3\]

となり、2乗が解消されたとともに角度が\(2x\)で揃う！あとは単位円でチェック

和積
・\(\class{mathkuu}{\underline{\sin{A}+\sin{B}=2 \sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}}}\)
・\(\class{mathkuu}{\underline{\sin{A}-\sin{B}=2 \cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}}}\)
・\(\class{mathkuu}{\underline{\cos{A}+\cos{B}=2 \cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}}}\)
・\(\class{mathkuu}{\underline{\cos{A}-\cos{B}=-2 \sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}}}\)


積和(和積で\(\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{A+B}{2}}}=\alpha、\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{A-B}{2}}}=\beta\)とおくと導ける)
・\(\class{mathkuu}{\underline{\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}}}\)
・\(\class{mathkuu}{\underline{\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}\{ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}}}\)
・\(\class{mathkuu}{\underline{\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}}}\)
・\(\class{mathkuu}{\underline{\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}}}\)

\(x,y\)の式で、\(x\)と\(y\)を入れかえても同じ式になるものを対称式という。対称式ときたら・・・



ex.) \[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,\quad x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\ \mathrm{or}\ =(x+y)^3-3xy(x+y)\]

※3変数\(x, y, z\)の場合は、基本対称式\(x+y+z, xy+yz+zx, xyz\)で表す！

※対称式は，すべて基本対称式で表せることが知られている。

2直線のなす角 \(\theta\) は \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲で考えることが多く、この計算で\(\tan \theta < 0\)、すなわち、\(\dfrac{\pi}{2} < \theta \leqq \pi\) となる場合は、\(\class{mathkuu}{\underline{\pi - \theta}}\) を2直線のなす角とすればよい。

(ex. \(\tan \theta\) の計算結果が\(-\sqrt{3}\)なら，\(150^{\circ}\) ではなく\(30^{\circ}\) とする，など。)

\(\sin\)や\(\cos\)が式の中に入っていると難しく見えるが、恐れる必要はない。\(\sin\theta,\ \cos\theta\)は、「2乗の和が1になる、-1以上1以下のただの2つの実数」だと思えばよい。\(\tan\theta\)も同様に、ただのなんらかの実数だと考えればよい。

ただ、その実数値1つに対して\(\theta\)の値が無数に対応しているという点だけが、通常の文字と違うところ。