指数・対数関数

\(a>0,\ a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}1\)のとき，



不等式は，底が1より大きいか小さいかで不等号の向きの扱いが変わるので要注意！

\(m, \:n\)が自然数のとき

1. \(a^m \times a^n=\)\(a^{m+n}\)
2. \(\left(a^m\right)^n=\)\(a^{m n}\)
3. \((a b)^n=\)\(a^n b^n\)

\(a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0,\ b \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)で、\(m, \:n\)が整数のとき

1. \(a^m \times a^n=\)\(a^{m+n}\)
2. \(a^m \div a^n=\)\(a^{m-n}\)
3. \(\left(a^m\right)^n=\)\(a^{m n}\)
4. \((a b)^n=\)\(a^n b^n\)
5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\)\(\dfrac{a^n}{b^n}\)

\(a > 0,\:b > 0\)で、\(m, \:n\)が有理数のとき

1. \(a^m \times a^n=a^{m+n}\)
2. \(a^m \div a^n=a^{m-n}\)
3. \(\left(a^m\right)^n=a^{m n}\)
4. \((a b)^n=a^n b^n\)
5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

\(a>0,\:b>0\)で、\(m, \:n\)が実数のとき

1. \(a^m \times a^n=a^{m+n}\)
2. \(a^m \div a^n=a^{m-n}\)
3. \(\left(a^m\right)^n=a^{m n}\)
4. \((a b)^n=a^n b^n\)
5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

\(a>0,\ b>0\)で、\(m,\ n,\ p\)を正の整数とするとき、次が成り立つ。

1. \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\)\(\sqrt[n]{ab}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\)\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)
3. \((\sqrt[n]{a})^m=\)\(\sqrt[n]{a^m}\)
   
4. \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\)\(\sqrt[mn]{a}\)
5. \(\sqrt[n]{a^m}=\)\(\sqrt[np]{a^{mp}}\)
   

\[\sqrt[n]{a}が表す意味\]

1. 定義域は実数全体、値域は正の数全体である。
2. 点\((\class{mathkuu}{\underline{0}},\class{mathkuu}{\underline{\: 1}}),\ (1,\ a)\)を通り、\(\class{mathkuu}{\underline{x}}\)軸を漸近線としてもつ曲線である。
3. \(底aは、\class{mathkuu}{\underline{a>0}},\: \class{mathkuu}{\underline{a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1}}のみを考える。\)
4. \(a>1\)のとき右上がりの曲線、\(0<a<1\)のとき右下がりの曲線である。
5. \(a>0,\ a\neq 1\)のとき、\(a^p =a^q\: \Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{\: p=q}}\) (1対1の関数)

・カンタンな底にそろえる。 ・似てる形はおきかえる。 ・(不等式は)底が1より大or小カクニンする。

\(a>0,a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}1,M>\class{mathkuu}{\underline{0}}のとき\)

\(a>0,\: a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}1,\: pは実数のとき、\) \[\log _a{a^p}=\class{mathkuu}{\underline{p}}\] \[特に、\: \log_aa=\class{mathkuu}{\underline{1}},\ \ \ \log_a1=\class{mathkuu}{\underline{0}},\ \ \ \log_a\dfrac{1}{a}=\class{mathkuu}{\underline{-1}}\]

\(a>0,\ a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1,\ M>0,\ N>0\) のとき
【積の対数】 \[\log _a M N=\class{mathkuu}{\underline{\log _a M+\log _a N}}\] 【商の対数】 \[\log _a \frac{M}{N}=\class{mathkuu}{\underline{\log _a M-\log _a N}}\] 【累乗の対数】 \[\log _a M^r=\class{mathkuu}{\underline{r \log _a M}} \quad(rは実数)\] 特に， \[\log_a\dfrac{1}{N}=\class{mathkuu}{\underline{-\log_a{N}}}\] \[\log_a\sqrt[n]{M}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{n}\log_a{M}}}\] ※上記の性質はすべて底が揃っている場合に成り立つことに注意しよう。

\(a,b,c>0\)，\(a, b, c\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}1\)のとき、 \[\log_a{b}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}}}，\quad 特に、\log_ab=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{\log_b a}}}\]

対数の定義より、次の式が成り立つ

1. 定義域は正の数全体、値域は実数全体である。
2. 点\((\class{mathkuu}{\underline{1}},\class{mathkuu}{\underline{\: 0}}),\ (a,\ 1)\)を通り、\(\class{mathkuu}{\underline{y}}\)軸を漸近線としてもつ曲線である。
3. \(底の条件\left( \class{mathkuu}{\underline{a>0}},\class{mathkuu}{\underline{a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1}}\right),\: 真数条件(\class{mathkuu}{\underline{真数>0}})は\color{red}{隠れた条件}として常に成立。\)
4. \(a>1\)のとき右上がりの曲線、\(0<a<1\)のとき右下がりの曲線である。
5. \(a>0,\ a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1,\ p>0,\ q>0\)のとき、\(\log_a{p} =\log_a{q}\: \Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{\: p=q}}\) (1対1の関数)
   

\(○>0,\ △>0\)とする。 \[\boldsymbol{\log付けたり外したりする際は，底が1より大きいか小さいか確認しよう。小さければ大小逆転！}\]

1. まずは真数条件確認！(必ず最初に行わないと間違える可能性あり！) 2. カンタンな底にそろえる。 3. まとめる。 (ex.) \(\log_23 + \log_25=\log_2 15\)など 3'. 似てる形はおきかえる。 4. (不等式は)底が1より大or小カクニンする。

文字おきかえたら範囲check!!

真数に文字がありときたら・・・まずは真数条件確認！

底に文字ありときたら・・・まずは底の条件\(\left( 底>0, \: \neq 1\right) \)確認！

問題は大きく4パターン。以下は覚えなくても都度自作できるように！

1. 自然数 \(N\) が \(n\) 桁 \[ \begin{aligned} &\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{10^{n-1}}} \leqq N<\class{mathkuu}{\underline{10^n }}\\ &\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{n-1}} \leqq \log _{10} N<\class{mathkuu}{\underline{n}} \end{aligned} \] 2. \(0<M<1\) である小数 \(M\) の小数第 \(n\) 位に初めて 0 でない数字が現れる \[ \begin{aligned} &\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{10^n}}} \leqq M<\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{10^{n-1}}}} \\ &\Longleftrightarrow\class{mathkuu}{\underline{-n}} \leqq \log _{10} M<\class{mathkuu}{\underline{-n+1}} \end{aligned} \] 3. 【応用】\(k\) 桁の自然数 \(N\) の最高位の数が \(a\) ( \(a\) は整数, \(1 \leqq a \leqq 9)\) \[ \Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{a \cdot 10^{k-1}}} \leqq N<\class{mathkuu}{\underline{(a+1) \cdot 10^{k-1}}} \] 4. 【発展】\(0<○<1\) である小数 \(○\: に小数第N位で初めて0でない数Mが現れる(小数首位)\) \[ \begin{aligned} &\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{M\cdot 10^{-N}}} \leqq ○<\class{mathkuu}{\underline{(M+1)\cdot 10^{-N} }}\\ &\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{\log _{10} M - N}}\leqq \log _{10} ○<\class{mathkuu}{\underline{\log _{10} (M+1)-N}} \end{aligned} \]

相反式ときたら・・・\(x+\dfrac{1}{x}\)のカタマリで表せ！↓ 例 \[x^2+\dfrac{1}{x^2}=\class{mathkuu}{\underline{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2}}-\class{mathkuu}{\underline{2}},\ x^3+\dfrac{1}{x^3}=\class{mathkuu}{\underline{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^3}}-\class{mathkuu}{\underline{3\cdot \cancel{x}\cdot \cancel{\dfrac{1}{x}}\left( x+\dfrac{1}{x}\right)}}\]

また、\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-{\frac{1}{2}}}\)や\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-{\frac{1}{2}}}\)は、2乗すると、\(x+x^{-1}+2\)や\(x+x^{-1}-2\)となるのもよく使う。

\(a>0\), \(b>0\)のとき、 \[\class{mathkuu}{\underline{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}}\] \[等号成立は\class{mathkuu}{\underline{a=b}}のとき\]

指数対数ともに，大小比較問題で底がそろわないとき

・・・指数や真数をそろえて比較！

\(●^x\)のように肩に文字ある，肩の式が複雑ときたら・・・対数とることを考えよ！

指数・対数の不等式は\(1<底\)の時と\(0<底<1\)の時で不等号の向き変わるので要注意！
→ログを付けたり外したりするときは，底が1より大きいか小さいか確認が必要

積の対数を扱うときや，肩の数を前に出すとき，真数が文字なら同値性要注意！！

\[xが実数のとき，\]

①　正しくない例： \[\log_2 x +\log_2 (x-3) =2\] \[\cancel{\iff} \log_2 x(x-3) =2\] \[\iff \log_2 x(x-3) =\log_2 4\] \[\iff x(x-3)=4 \iff \cdots \iff x=-1,\ 4\] \[代入しておかしな点を確かめてみよう。\]

①　正しい例： \[\log_2 x +\log_2 (x-3) =2 \] \[\iff \log_2 x(x-3) =2,\: x>0,\: x-3>0 \] \[\iff \log_2 x(x-3) =\log_2 4,\: x>3\] \[\iff x(x-3)=4 ,\ x>3 \iff \cdots \iff x=4\] \[\color{red}{「まずは真数条件」を徹底していれば問題ない。}\]

②　正しくない例： \[ \log_2{x^2} = 2 \] \[ \cancel{\iff} 2 \log_2{x} = 2 \] \[ \iff \log_2{x} = 1 \iff x = 2 \]

②　正しい例： \[ \log_2{x^2} = 2 \] \[ \iff \log_2{x^2} = \log_2{4} \] \[ \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2 \] \[or\] \[ \log_2{x^2} = 2 \] \[ \iff 2\log_2{|x|} = \log_2{4} \] \[ \iff |x| = 2 \iff x = \pm 2 \]

つまりは，正しくは \[\log_2{x^2} = 2 \class{mathkuu}{\underline{\log_2{|x|}}}\] である。\(\sqrt{x^2}=|x|\)であるのと似た感覚。

指数法則が成り立つときの底や指数の条件については、考え出すとかなり難しい内容になる。とりあえず「指数が実数の範囲」かつ「底が正」ときに指数法則が成り立つということが理解できていれば大丈夫です。
以下に、混乱した方向けに指数法則が成り立つときの底と指数の条件をまとめた表を載せておきます。参考にしてください。（ - は高校範囲外）